2011年7月15日金曜日

ワイブル分布の分布関数と期待値の導出-------風況のために

ワイブル分布
NEDOなどによると、(http://app2.infoc.nedo.go.jp/nedo/Weibull.pdf)「風速の出現率分布はワイブル(Weibill)分布で近似できる」。
なんで?という思いもあるが、それは後のお楽しみに措いておいて(先に知っときたい人は、極値統計学とか勉強するといいと思う。)
ワイブル分布の分布関数を導出することで、風速xが、ある値以下である確率の式を導出してみよう。

分布関数の導出
まず、ワイブル分布は、

(x>0のとき)



ここで、aは尺度パラメータ、bは形状パラメータ(ワイブル係数)である。

分布関数の定義から

――――(1)




と変数変換するので、


積分範囲は0~x → 0~(x/a)b であり、また、



であるので(1)より

分布関数は、










となる。

期待値の導出

ガンマ関数は、

であるので、


















となる。

以上より、ワイブル分布の分布関数と期待値を求めることができ、これらはそれぞれ、x以下の風速の出現確率と、平均風速に相当する。

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